纵横图

亦称幻方。将1至n

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连续自然数置于有n

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个小方格正方形中，使在同一行、同一列、同一对角线上n数之和皆相等，即为1/2n(n

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+1)。此巧妙排列称为n行纵横图。汉代人发明三行纵横图(如图所示)，称“九宫”。南宋杨辉制成4至10行纵横图，载于《续古摘奇算法》(1275)。德国著名画家丢勒1514年才于版画上绘出完整四行幻方。

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又称幻方，古代数学创造之一。从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列及对角线上的n个数的和都等于1/2n(n

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+1)，便称为n阶纵横图。东汉郑玄(公元129～200年)注《易纬?乾凿度》：“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五。”称为九宫数。北朝卢辩、甄鸾说的更为明确。《数术记遗》说：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”都是指如图

的三阶纵横图。后来人们给纵横图披上了神秘的外衣，将它与河图或洛书联系起来。南宋杨辉等著《续古摘奇算法》给出了造三阶、四阶纵横图的一般程序，又给出了若干5～10阶纵横图及各种非标准型纵横图，在一定程度上打破了其神秘性。明王文素《算学宝鉴》、程大位《算法统宗》及清代许多著作都载有若干纵横图。现今，纵横图是组合数学的研究内容。

数学术语，又称为幻方。东汉末郑玄《易纬?乾凿度》注中提出三阶幻方，将1至9九个数排成三行，使三行、三列及二对角线数字之和均为15，称为九宫图，宋儒把它附会成洛书或河图。南宋杨辉编纂的《续古摘奇算法》将纵横图推广到1到n

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的情形，其行、列、对角线数字之和为n(n

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+1)/2，还列出了3到10阶的纵横图及其变体共13种，指出了3阶、4阶纵横图的构造方法，打破了纵横图的神秘色彩。纵横图研究是现今组合数学的一部分，在现代科学技术中发挥着重要作用。