仿射坐标变换fangshe zuobiao bianhuan

设已给两个仿射坐标系σ=〔O;e₁,e₂,e₃〕，σ′=〔O′;e′₁,e′₂,e′₃〕，σ叫做旧坐标系，σ′叫做新坐标系，把σ′的底矢e′₁,e′₂,e′₃写成σ的底矢e₁,e₂,e₃的线性组合

它的系数矩阵为

由于e′₁,e′₂,e′₃是σ′的坐标底矢，它们不共面，故行列式|A|=|a_ij|≠0.(1)叫做仿射坐标系的底矢变换公式，矩阵A叫做底矢变换矩阵.设矢量v在仿射坐标系σ和σ′的分量依次是X,Y,Z和X′,Y′,Z′，则

(3)叫做σ到σ′的矢的分量变换公式，其系数矩阵

叫做矢的分量变换矩阵.它是底矢变换矩阵A的转置，行列式|A′|=|A|≠0.从代数观点来看，(3)叫做齐次线性变换.若行列式|A′|≠0，则矩阵A叫做满秩的（或非奇异的），对应齐次线性变换叫做满秩（非奇异）齐次线性变换.所以一个仿射坐标系的矢的分量变换是一个满秩齐次线性变换.反之，若给了一个满秩齐次线性变换(3)，由于|A′|≠0，就可以写出底矢变换(1)，在此底矢变换下，矢的分量变换为(3).设P是空间任意一点，它在仿射坐标系σ,σ′下的坐标依次是(x,y,z),(x′,y′,z′)，而σ′的原点O′在σ下的坐标为(x₀,y₀,z₀)，则

其系数矩阵仍为A′，系数行列式|A′|≠0.从代数观点看，(5)叫做线性变换，若它的系数行列式|A′|≠0，则叫做满秩线性变换.点的仿射坐标变换，都是满秩线性变换.反之，对任一个形如(5)的满秩线性变换，都可以看作点的仿射坐标变换.只要仿射坐标变换的底矢变换为(1)，以及新原点O′在旧坐标系下的坐标为(x₀,y₀,z₀)则在这样的仿射坐标变换下，点的仿射坐标即为式(5).